Question

19．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤3}\\{0≤y≤3}\end{array}\right.$表示的平面区域为P，不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{3x+2y-6≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，表示的平面区域为Q
（1）在区域P中任取一点M，求M∈Q的概率；
（2）在区域Q中任取一点N（x，y），求$\frac{y}{x}$≥$\frac{3}{4}$ 的概率．

Answer 1

分析 首先画出可行域，由题意，分别利用几何意义求出大圆区域的面积，利用面积比求概率．

解答 解：平面区域如图得到区域P的面积为9，不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{3x+2y-6≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{3x+2y-6=0}\end{array}\right.$得到A（$\frac{4}{5}$，$\frac{9}{5}$），所以平面区域为Q的面积为$\frac{1}{2}×3×（2-\frac{4}{5}）=\frac{9}{5}$，
则（1）在区域P中任取一点M，求M∈Q的概率$\frac{\frac{9}{5}}{9}=\frac{1}{5}$；
（2）在区域Q中任取一点N（x，y），$\frac{y}{x}$≥$\frac{3}{4}$ 的区域如图中区域ACED，其中E（2，$\frac{3}{2}$），D（$\frac{4}{3}$，1），
所以面积为$\frac{9}{5}-\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}=\frac{13}{10}$，所以所求概率为$\frac{\frac{13}{10}}{\frac{9}{5}}=\frac{13}{18}$．

点评 本题考查了简单线性规划问题以及几何概型的概率求法；明确目标函数的几何意义，利用面积比求概率．