Question

8．已知函数$f（x）=lg（{x+\sqrt{{x^2}+1}}）+2x+sinx，f（{x_1}）+f（{x_2}）＞0$，则下列不等式中正确的是（　　）

• A． x₁＞x₂
• B． x₁＜x₂
• C． x₁+x₂＜0
• D． x₁+x₂＞0

Answer 1

分析 由已知可得：f（x）+f（-x）=lg1=0，可得函数f（x）是奇函数，并且可得函数f（x）在x≥0时单调递增，因此在R上单调递增．即可得出．

解答 解：∵f（x）+f（-x）=$lg（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$+2x+sinx+$lg（-x+\sqrt{（-x）^{2}+1}）$-2x-sinx=lg1=0，
∴函数f（x）是奇函数，并且可得函数f（x）在x≥0时单调递增，因此在R上单调递增．
∵f（x₁）+f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞-f（x₂），∴f（x₁）＞f（-x₂）．
∴x₁＞-x₂，即x₁+x₂＞0，
故选：D．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性、不等式与方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．