【题目】法国数学家布丰提出一种计算圆周率的方法——随机投针法,受其启发,我们设计如下实验来估计
的值:先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对
;再统计两数的平方和小于1的数对
的个数
;最后再根据统计数
来估计
的值.已知某同学一次试验统计出
,则其试验估计
为______.
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【题目】在直角坐标系xOy中,动点P与定点的距离和它到定直线
的距离之比是
,设动点P的轨迹为E.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)设过F的直线交轨迹E的弦为AB,过原点的直线交轨迹E的弦为CD,若,求证:
为定值.
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【题目】如图,D是AC的中点,四边形BDEF是菱形,平面平面ABC,
,
,
.
若点M是线段BF的中点,证明:
平面AMC;
求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.
(1)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.
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【题目】已知椭圆的上、下焦点分别为
,
,离心率为
,点
在椭圆C上,延长
交椭圆于N点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)P,Q为椭圆上的点,记线段MN,PQ的中点分别为A,B(A,B异于原点O),且直线AB过原点O,求面积的最大值.
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【题目】已知某款冰淇淋的包装盒为圆台,盒盖为直径为的圆形纸片,每盒冰淇淋中包含有香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一个,假定每个冰淇淋球都是半径为
的球体,三个冰淇淋球两两相切,且都与冰淇淋盒盖、盒底和盒子侧面的曲面相切,则冰淇淋盒的体积为______.
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【题目】如图,在底面边长为,侧棱长为
的正四棱柱
中,
是侧棱
上的一点,
.
(1)若,求异面直线
与
所成角的余弦;
(2)是否存在实数,使直线
与平面
所成角的正弦值是
?若存在,请求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】用平面截圆柱面,当圆柱的轴与所成角为锐角时,圆柱面的截面是一个椭圆,著名数学家
创立的双球实验证明了上述结论.如图所示,将两个大小相同的球嵌入圆柱内,使它们分别位于
的上方和下方,并且与圆柱面和
均相切.给出下列三个结论:
①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点;
②若球心距,球的半径为
,则所得椭圆的焦距为2;
③当圆柱的轴与所成的角由小变大时,所得椭圆的离心率也由小变大.
其中,所有正确结论的序号是( )
A.①B.②③C.①②D.①②③
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