Question

【题目】已知以点为圆心的圆被直线：截得的弦长为.

（1）求圆的标准方程；

（2）求过与圆相切的直线方程；

（3）若是轴的动点，，分别切圆于，两点.试问：直线是否恒过定点？若是，求出恒过点坐标；若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）见解析

【解析】

（1）根据圆心到直线的距离，半弦长、半径、构成直角三角形，求解即可；（2）利用圆心到直线的距离等于等于半径求解（3）由题意，则，在以为直径的圆上，设，写出圆的方程，与已知圆联立，得到含参的直线方程，确定是否过定点.

（1）圆心到直线的距离为，设圆的半径为，则，圆为.

（2）设过点的切线方程为，即，

圆心到直线的距离为，

解得或，

所以过点的切线方程为或；

（3）由题意，则，在以为直径的圆上，

设，则以为直径的圆的方程：.

即，

与圆：，

联立得：，

令得，，

故无论取何值时，直线恒过定点.