Question

5．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，连接EF，A′B．

（1）求证：A′D⊥EF；
（2）求直线A′D与平面EFD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过证明A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，推出A'D⊥平面A'EF，然后证明A'D⊥EF．
（Ⅱ）方法一：说明A'E⊥A'F，A'D⊥平面A'EF，以A'E，A'F，A'D为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A'-xyz，求出相关点的坐标，求出平面DEF的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线A'D与平面EFD所成角的正弦值即可．
方法二：连接BD交EF于点G，连接A'G，说明∠A'DG直线A'D与平面EFD所成角通过求解三角形，求解直线A'D与平面EFD所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF
则A′D⊥A′E，A′D⊥A′F…（4分）
又A′E∩A′F=A′
∴A′D⊥平面A′EF…（6分）
而EF?平面A′EF，∴A′D⊥EF…（7分）
（Ⅱ）方法一：∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴BE=BF=A′E=A′F=1

∴$EF=\sqrt{2}$∴A′E²+A′F²=EF²，∴A′E⊥A′F
由（Ⅰ）得A′D⊥平面A′EF，
∴分别以A′E，A′F，A′D为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A′-xyz，…（9分）
则A′（0，0，0），E（1，0，0），F（0，1，0），D（0，0，2）
∴$\overrightarrow{DE}=（1，0，-2）$，$\overrightarrow{DF}=（0，1，-2）$，$\overrightarrow{A′D}=（0，0，2）$
设平面DEF的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，
则由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DE}=x-2z=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DF}=y-2z=0\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n_1}=（2，2，1）$…（11分）
令直线A′D与平面EFD所成角为α，∴$sinα=|{\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{A′D}}}{{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{A′D}|}}}|=\frac{2}{{\sqrt{4+4+1}•2}}=\frac{1}{3}$…（14分）
∴直线A′D与平面EFD所成角的正弦值为$\frac{1}{3}$…（15分）
方法二：连接BD交EF于点G，连接A′G
∵在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴BE=BF，DE=DF，
∴点G为EF的中点，且BD⊥EF
∵正方形ABCD的边长为2，∴A′E=A′F=1，∴A′G⊥EF，EF⊥平面A′GD，∴A′在面EFD的射影在BD上，…（9分）
则∠A′DG直线A′D与平面EFD所成角…（11分）


由（Ⅰ）可得A′D⊥A′G，
∴△A′DG为直角三角形
∵正方形ABCD的边长为2，
∴$BD=2\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{2}$，
∴$BG=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$DG=2\sqrt{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
又A′D=2
∴$A′G=\sqrt{D{G^2}-A′{D^2}}=\sqrt{\frac{9}{2}-4}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（14分）
∴$sin∠A′DG=\frac{A′G}{DG}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{\frac{{3\sqrt{2}}}{2}}}=\frac{1}{3}$
∴直线A′D与平面EFD所成角的正弦值为$\frac{1}{3}$…（15分）

点评 本题考查空间向量数量积的应用，直线与平面市场价的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．