Question

13．数列{a_n}为非常数列，满足：a₃+a₉=$\frac{1}{4}$，a₅=$\frac{1}{8}$，且a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=na₁a_n+1对任何的正整数n都成立，则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{50}}$的值为（　　）

• A． 1475
• B． 1425
• C． 1325
• D． 1275

Answer 1

分析 a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=na₁a_n+1，可得a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1+a_n+1a_n+2=（n+1）a₁a_n+2，相减可得：$\frac{n}{{a}_{n+2}}$-$\frac{n+1}{{a}_{n+1}}$=-$\frac{1}{{a}_{1}}$，同理可得：$\frac{n-1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{n}{{a}_{n}}$=-$\frac{1}{{a}_{1}}$，相减可得：$\frac{2}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{n+2}}$．再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=na₁a_n+1，①
a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1+a_n+1a_n+2=（n+1）a₁a_n+2，②
①-②，得-a_n+1a_n+2=na₁a_n+1-（n+1）a₁a_n+2，
∴$\frac{n}{{a}_{n+2}}$-$\frac{n+1}{{a}_{n+1}}$=-$\frac{1}{{a}_{1}}$，
同理可得：$\frac{n-1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{n}{{a}_{n}}$=-$\frac{1}{{a}_{1}}$，
∴$\frac{2}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{n+2}}$．
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+（n-1）d．
可得：a_n=$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{1}}+（n-1）d}$．
由a₃+a₉=$\frac{1}{4}$，a₅=$\frac{1}{8}$，
∴$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{1}}+2d}$+$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{1}}+8d}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{1}}+4d}$=$\frac{1}{8}$，d≠0．
联立解得a₁=4，d=1，．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=4+n-1=n+3．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{50}}$=$\frac{50×（4+50+3）}{2}$=1425．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的定义及其通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．