Question

3．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y²=2px的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长（4±2$\sqrt{3}$）|p|．

Answer 1

分析 由等边三角形性质得出一边斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，联立方程组解出另两点坐标即可得出三角形的边长．

解答 解：抛物线的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），
由对称性可知三角形的另两点关于x轴对称，
∴三角形过点（$\frac{p}{2}$，0）的一边方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7+4\sqrt{3}}{2}p}\\{y=（2+\sqrt{3}）p}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7-4\sqrt{3}}{2}p}\\{y=（2-\sqrt{3}）p}\end{array}\right.$．
∴等边三角形的边长为（4+2$\sqrt{3}$）|p|或（4-2$\sqrt{3}$）|p|．
故答案为：（4±2$\sqrt{3}$）|p|．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．