Question

8．给定两个长度为1的平面向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$，它们的夹角为90°．点C在以O为圆心的圆弧$\widehat{AB}$上变动，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，则xy的范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． [0，1]
• C． $（{0，\frac{1}{2}}）$
• D． $[{0，\frac{1}{2}}]$

Answer 1

分析 对式子$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$两边平方可得x²+y²=1，再利用基本不等式即可得出xy的范围．

解答 解：由题意可知：|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
∴x²+y²=1，
由x²+y²≥2xy得1≥2xy，∴xy≤$\frac{1}{2}$．
当且仅当x=y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，
由x≥0，y≥0，
∴xy≥0．
即有0≤xy≤$\frac{1}{2}$．
故选D．

点评 本题考查了平面向量的几何意义，基本不等式的应用，属于基础题．