Question

已知椭圆Ω：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其离心率与双曲线

x2

3

-y²=1的离心率互为倒数，而直线x+y=

3

恰过椭圆Ω的焦点．
（1）求椭圆Ω的方程；
（2）设椭圆的左右顶点分别为A、B，上顶点为C，点P是椭圆上不同于顶点的任意一点，连接BP交直线AC于点M，连接CP与x轴交于点N，记直线MN，MB斜率分别为k₁，k₂，求2k₁-k₂是否为定值，若是求出该定值并证明，若不是说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,作图题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）先求双曲线的离心率，从而得到椭圆的离心率，再由直线x+y=

3

恰过椭圆Ω的焦点求出c，从而求a，b；
（2）由题意，A（-2，0），B（2，0），C（0，1），设P（2cosα，sinα）；由直线相交可得M（2

sinα+cosα-1

sinα-cosα+1

，

2sinα

sinα-cosα+1

），N（

2cosα

1-sinα

，0）；从而写出k₁=

2sinα sinα-cosα+1 -0

2 sinα+cosα-1 sinα-cosα+1 - 2cosα 1-sinα

=

1-sinα

2(1-sinα-cosα)

，k₂=

sinα

2cosα-2

；代入2k₁-k₂=2

1-sinα

2(1-sinα-cosα)

-

sinα

2cosα-2

化简即可．

解答： 解：（1）双曲线

x2

3

-y²=1的离心率为

3+1

3

=

2

3

，
故椭圆Ω：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

；
又∵直线x+y=

3

恰过椭圆Ω的焦点，
∴焦点坐标为（

3

，0），
故a=2，c=

3

，b=1；
故椭圆Ω的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）由题意，A（-2，0），B（2，0），C（0，1），
设P（2cosα，sinα）；
直线AC的方程为：

x

-2

+

y

1

=1，
即x-2y+2=0①；
直线BP的方程为：y-0=

sinα

2cosα-2

（x-2）②；
由①②联立解得，M（2

sinα+cosα-1

sinα-cosα+1

，

2sinα

sinα-cosα+1

）；
直线CP的方程为：y-1=

sinα-1

2cosα

（x-0）；代入y=0可解得，
x=

2cosα

1-sinα

，故N（

2cosα

1-sinα

，0）；
则k₁=

2sinα sinα-cosα+1 -0

2 sinα+cosα-1 sinα-cosα+1 - 2cosα 1-sinα

=

1-sinα

2(1-sinα-cosα)

，
k₂=

sinα

2cosα-2

；
则2k₁-k₂=2

1-sinα

2(1-sinα-cosα)

-

sinα

2cosα-2

=

2(1-sinα)(cosα-1)-sinα(1-sinα-cosα)

2(1-sinα-cosα)(cosα-1)

=

1

2(1-sinα-cosα)(cosα-1)

[2（1-sinα）（cosα-1）-sinα（1-cosα）+sin²α]
=

1

2(1-sinα-cosα)(cosα-1)

[（cosα-1）（2-2sinα+sinα）+（1-cosα）（1+cosα）]
=

1

2(1-sinα-cosα)(cosα-1)

[（cosα-1）（2-sinα-1-cosα）]
=

1

2(1-sinα-cosα)(cosα-1)

（cosα-1）（1-sinα-cosα）
=

1

2

．

点评：本题考查了圆锥曲线方程的应用，主要考查了学生的化简运算能力，属于难题．