Question

已知函数f（x）=xlnx+mx（m∈R）的图象在点（1，f（1））处的斜率为2．
（1）求实数m的值；
（2）f（x）≤kx²对?x＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）已知m，n∈N^*且m＞n＞1，证明：

m n

n m

＞

n

m

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导数，令f′（1）=2，即可得到m；
（2）由（Ⅰ），知f（x）=x+xlnx，f（x）≤kx²对任意x＞0成立?k≥

1+lnx

x

对任意x＞0成立，
令g（x）=

1+lnx

x

，则问题转化为求g（x）的最大值，只要k不小于最大值即可．
（3）令h（x）=

xlnx

x-1

，则h′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

．由（2），知x≥1+lnx（x＞0），由h′（x）≥0，
则h（x）是（1，+∞）上的增函数，运用单调性化简整理即可得证．

解答： （1）解：求导数，得f′（x）=m+lnx+1，
由已知，得f′（1）=2，即m+ln1+1=2，
∴m=1；
（2）解：由（Ⅰ），知f（x）=x+xlnx，
∴f（x）≤kx²对任意x＞0成立?k≥

1+lnx

x

对任意x＞0成立，
令g（x）=

1+lnx

x

，则问题转化为求g（x）的最大值．
求导数，得g′（x）=-

lnx

x2

，令g′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上是增函数；
当x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是减函数．
故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=1．
∴k≥1即为所求；
（3）证明：令h（x）=

xlnx

x-1

，则h′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

．
由（Ⅱ），知x≥1+lnx（x＞0），∴h′（x）≥0，
∴h（x）是（1，+∞）上的增函数．
∵m＞n＞1，∴h（m）＞h（n），即

mlnm

m-1

＞

nlnn

n-1

，
∴mnlnm-mlnm＞mnlnn-nlnn，
即mnlnm+nlnn＞mnlnn+mlnm，
即lnm^mn+lnnⁿ＞lnn^mn+lnm^m，
即ln（nm^m）ⁿ＞ln（mnⁿ）^m，
∴（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m，
∴m•n

1

m

＞n•m

1

n

，
即有

m n

n m

＞

n

m

．

点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程，求单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，同时考查分离参数法和运用单调性证明不等式问题，属于中档题．