Question

设f（x）=

a•2x-1

1+2x

（a∈R）为奇函数．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的值域；
（3）解不等式：0＜f（2x-1）＜

15

17

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数是奇函数得到f（0）=0，即可求a的值；
（2）根据指数函数的性质即可求f（x）的值域；
（3）结合函数奇偶性和单调性之间的关系即可解不等式：0＜f（2x-1）＜

15

17

．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a•2x-1

1+2x

（a∈R）为奇函数．
∴f（0）=

a-1

1+1

=0，
解得a=1；则f（x）=

2x-1

1+2x

（2）由y=

2x-1

1+2x

得（1+2^x）y=（2^x-1），
即（1-y）2^x=（1+y），
若y=1，则方程等价为0=2，不成立，
则y≠1，则2^x=

1+y

1-y

＞0，
解得-1＜y＜1，
即f（x）的值域为（-1，1）；
（3）∵f（4）=

24-1

24+1

=

15

17

．f（0）=0，
∴不等式：0＜f（2x-1）＜

15

17

等价为f（0）＜f（2x-1）＜f（4），
∵f（x）=

2x-1

1+2x

=

2x+1-2

1+2x

=1-

2

1+2x

，
∴函数f（x）为增函数，
∴不等式等价为0＜2x-1＜4，
解得

1

2

＜x＜

5

2

，
即不等式的解集为{x|

1

2

＜x＜

5

2

}．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键．