Question

【题目】设函数f（x）=|x+ |+|x﹣a+1|（a＞0是常数）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥1；
（Ⅱ）若f（3）＜ ，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=|x+ |+|x﹣a+1|≥| |=| |
∵a＞0，
∴ ，当且仅当a=1时取等号．
∴ ≥1
故得：函数f（x）=| |≥1，即f（x）≥1；
（Ⅱ）当x=3时，可得f（3）=|3+ |+|3﹣a+1| ，
∵a＞0，
可得：3+ +|4﹣a|
|4﹣a|＜ ，
∴ ，且 ，
解得：
故得a的取值范围是（2， ）．
【解析】（Ⅰ）利用绝对值不等式证明即可．（Ⅱ）将x=3带入，可得f（3）=|3+ |+|3﹣a+1| ，去绝对值，即可得答案．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．