Question

【题目】如图所示，四边形AMNC为等腰梯形，△ABC为直角三角形，平面AMNC与平面ABC垂直，AB=BC，AM=CN，点O、D、E分别是AC、MN、AB的中点．过点E作平行于平面AMNC的截面分别交BD、BC于点F、G，H是FG的中点．
（Ⅰ）证明：OB⊥EH；
（Ⅱ）若直线BH与平面EFG所成的角的正弦值为 ，求二面角D﹣AC﹣H的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：因为点O、D分别是等腰梯形AMNC两底AC、MN的中点，所以OD⊥OC．又AB=BC，
则OB⊥AC．于是等腰梯形AMNC与直角△ABC所成二面角的平面角为∠BOC，则∠BOC= ．即OB⊥OD，得OB⊥平面AMNC．
又平面AMNC∥平面EFG，则OB⊥平面EFG．
因为EG平面EFG，所以OB⊥EH．
（Ⅱ）以O为原点，分别以 为x轴、y轴、z轴
的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．
设OA=a，OB=b，则O（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），D（0，0，b），C（﹣a，0，0）．
所以E（ ，F（0， ），G（﹣ ，H（﹣ ），有 ，平面EFG的一个法向量为 ．
设直线BH与平面EFG所成的角为α，则sinα=|cos＜ |= ，得a=b．
设平面HAC的法向量为 ，由 ，取y=1，得 ，
所以cos＜ ＞= ，
因为二面角D﹣AC﹣H为锐二面角，所以二面角D﹣AC﹣H的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）由题意知等腰梯形AMNC与直角△ABC所成二面角的平面角为∠BOC，则∠BOC= ． 得OB⊥平面AMNC．又平面AMNC∥平面EFG，则OB⊥平面EFG即可．（Ⅱ）以O为原点，分别以 为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．
设OA=a，OB=b，则O（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），D（0，0，b），C（﹣a，0，0）．利用向量法求解．
【考点精析】认真审题，首先需要了解空间中直线与直线之间的位置关系(相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点)．