Question

直线与抛物线:交于两点，点是抛物线准线上的一点，
记，其中为抛物线的顶点.
（1）当与平行时，________；
（2）给出下列命题：
①，不是等边三角形；
②且，使得与垂直；
③无论点在准线上如何运动，总成立.
其中，所有正确命题的序号是___.

Answer 1

;①②③

解析试题分析：由抛物线方程知，焦点，准线为。
（1）当与平行时，因为有公共点，所以三点共线。因为点在准线上，点在直线上，所以关于点对称，所以与是相反向量，所以,此时。（2）将代入得，所以，假设能是等边三角形，则此时点只能是准线与轴交点。但此时。所以假设不成立，即不可能是等边三角形，故①正确；不妨设，设则，，当与垂直时，，解得，即。因为，所以且，解得。故②正确；因为，且，所以。故③正确。综上可得正确的序号是①②③。
考点：抛物线方程及基本性质，平面向量的平行、垂直及向量坐标的运算法则。