Question

17．对于正整数n，设x_n是关于x的方程nx³+2x-n=0的实数根，记a_n=[（n+1）x_n]（n≥2），其中[x]表示不超过实数x的最大整数，则$\frac{1}{1007}$（a₂+a₃+…+a₂₀₁₅）=2017．

Answer 1

分析 根据条件构造f（x）=nx³+2x-n，求函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围进行求解即可．

解答 解：设f（x）=nx³+2x-n，则f′（x）=3nx²+2，
当n是正整数时，f′（x）＞0，则f（x）为增函数，
∵当n≥2时，f（$\frac{n}{n+1}$）=n×（$\frac{n}{n+1}$）³+2×（$\frac{n}{n+1}$）-n=$\frac{n}{（n+1）^{3}}$•（-n²+n+1）＜0，
且f（1）=2＞0，
∴当n≥2时，方程nx³+2x-n=0有唯一的实数根x_n且x_n∈（$\frac{n}{n+1}$，1），
∴n＜（n+1）x_n＜n+1，a_n=[（n+1）x_n]=n，
因此$\frac{1}{1007}$（a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₅）=$\frac{1}{1007}$（2+3+4+…+2015）=$\frac{（2+2015）×2014}{2×1007}$=2017，
故答案为：2017．

点评 本题考查递推数列的应用以及函数的单调性的应用函数的零点，数列求和的基本方法，考查分析问题解决问题以及计算能力，综合性较强，难度较大．