Question

2．已知抛物线y²=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，设AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．
（1）求直线FN与直线AB的夹角θ的大小；
（2）求证：点B、O、C三点共线．

Answer 1

分析 （1）先设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、中点M（x₀，y₀），利用斜率公式得出k_FN=-$\frac{1}{2}$y₀，再分类讨论：当x₁=x₂时，显然FN⊥AB；当x₁≠x₂时，证出k_FN•k_AB=-1．从而知FN⊥AB成立，即可得出结论．
（2）将焦点弦AB的直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合直线斜率的关系即可证得B、O、C三点共线，从而解决问题．

解答 （1）解：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、中点M（x₀，y₀），焦点F的坐标是（1，0）．
k_FN=-$\frac{1}{2}$y₀，当x₁=x₂时，显然FN⊥AB；
当x₁≠x₂时，k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2}{{y}_{0}}$，
∴k_FN•k_AB=-1．
∴FN⊥AB．综上所述知FN⊥AB成立，
即直线FN与直线AB的夹角θ的大小为90°；
（2）证明：由y=k（x-1）与抛物线方程联立，可得ky²-4y-4k=0，∴y₁y₂=-4，
∴A在准线上的射影为C，
∴C（-1，y₁），∴k_OC=-y₁，
∵k_OB=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{2}}$，y₁y₂=-4，
∴k_OB=k_OC，∴点B、O、C三点共线．

点评 本题给出抛物线过焦点的弦在准线上的射影，求证三点共线及线线角，着重考查了用解析几何理解抛物线的定义的知识点，属于中档题．