Question

12．设f（x）=|x+1|-|x-4|．
（1）若f（x）≤-m²+6m恒成立，求实数m的取值范围；
（2）设m的最大值为m₀，a，b，c均为正实数，当3a+4b+5c=m₀时，求a²+b²+c²的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）=|x+1|-|x-4|的最大值，f（x）_max≤-m²+6m即可．
（2）由柯西不等式（a²+b²+c²）（3²+4²+5²）≥（3a+4b+5c）²=25

解答 解（1）-5≤|x+1|-|x-4|≤5．，
由于f（x）≤-m²+6m的解集为R，
∴-m²+6m≥5，即1≤m≤5．
（2）由（1）得m的最大值为5，∴3a+4b+5c=5
由柯西不等式（a²+b²+c²）（3²+4²+5²）≥（3a+4b+5c）²=25----------（5分）
故a²+b²+c²≥$\frac{1}{2}$．（当且仅当a=$\frac{3}{10}$，b=$\frac{4}{10}$c=$\frac{5}{10}$时取等号）
∴a²+b²+c²的最小值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查绝对值不等式的最值，柯西不等式的应用，属于中档题．