Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$过点$（{\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，左右焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．
（I）求椭圆C方程；
（II）圆D：${（{x+\frac{{4\sqrt{3}}}{7}}）^2}+{（{y-\frac{{3\sqrt{3}}}{7}}）^2}={r^2}（{r＞0}）$与椭圆C交于A，B两点，R为线段AB上任一点，直线F₁R交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆D的直径，且直线F₁R的斜率大于1，求|PF₁||QF₁|的取值范围．

Answer 1

分析 （I）将点代入椭圆方程，由函数的对称性求得a=2c，即可求得椭圆的标准方程；
（II）由圆D，求得圆心坐标，利用点差法，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，求得A，B点坐标，求得F₁R的斜率的取值范围，则设F₁R的方程y=k（x+1），代入椭圆方程，由韦达定理及$|{P{F_1}}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_3}+1}|$，$|{Q{F_1}}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_4}+1}|$，即可求得|PF₁||QF₁|的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C过点$（{\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，
∴$\frac{3}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$，①
∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c，
∵a²=b²+c²，∴${b^2}=\frac{3}{4}{a^2}$，②
由①②得a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）因为AB为圆D的直径，所以点D：$（-\frac{{4\sqrt{3}}}{7}，\frac{{3\sqrt{3}}}{7}）$为线段AB的中点，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{{8\sqrt{3}}}{7}\\{y_1}+{y_2}=\frac{{6\sqrt{3}}}{7}\end{array}\right.$，又$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_1}^2}}{4}+\frac{{{y_1}^2}}{3}=1\\ \frac{{{x_2}^2}}{4}+\frac{{{y_2}^2}}{3}=1\end{array}\right.\end{array}$，
所以$\frac{{（{x_1}+{x_2}）（{x_1}-{x_2}）}}{4}+\frac{{（{y_1}+{y_2}）（{y_1}-{y_2}）}}{3}=0$，则（x₁-x₂）-（y₁-y₂）=0，故${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=1$，
则直线AB的方程为$y-\frac{{3\sqrt{3}}}{7}=x+\frac{{4\sqrt{3}}}{7}$，即$y=x+\sqrt{3}$，…（7分）
代入椭圆C的方程并整理得$7{x^2}+8\sqrt{3}x=0$，则${x_1}=-\frac{{8\sqrt{3}}}{7}，{x_2}=0$，
故直线F₁R的斜率$k∈[{\sqrt{3}，+∞}）$．
设F₁R：y=k（x+1），由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），则有${x_3}+{x_4}=\frac{{-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_3}{x_4}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．
又$|{P{F_1}}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_3}+1}|$，$|{Q{F_1}}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_4}+1}|$，…（10分）
所以|PF₁||QF₁|=（1+k²）|x₃x₄+（x₃+x₄）+1|=$（1+{k^2}）\frac{9}{{3+4{k^2}}}=\frac{9}{4}（1+\frac{1}{{3+4{k^2}}}）$，
因为$k≥\sqrt{3}$，所以$\frac{9}{4}＜\frac{9}{4}（1+\frac{1}{{3+4{k^2}}}）≤\frac{12}{5}$，
即|PF₁||QF₁|的取值范围是$（{\frac{9}{4}，\frac{12}{5}}]$．…（13分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．