Question

9．已知函数f（x）=e^xlnx-1，g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$．
（Ⅰ）若g（x）=a在（0，2）上有两个不等实根，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）证明：f（x）+$\frac{2}{eg（x）}$＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数在（0，2）的最大值和最小值，求出a的范围即可；
（Ⅱ）根据函数f（x）的定义域为（0，+∞），得到函数在定义域内的最小值为1，则答案得证．

解答 （Ⅰ）解：g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，
故g（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，
故g（x）_max=g（1）=$\frac{1}{e}$，而g（0）=0，g（2）=$\frac{2}{{e}^{2}}$，
若g（x）=a在（0，2）上有两个不等实根，
则$\frac{2}{{e}^{2}}$＜a＜$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）证明：要证明f（x）+$\frac{2}{eg（x）}$＞0，
即证明xln x＞xe^-x-$\frac{2}{e}$
设函数m（x）=xln x，
则m′（x）=1+ln x，
所以当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，m′（x）＜0；
当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，m′（x）＞0．
故m（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增，
从而m（x）在（0，+∞）上的最小值为m（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
设函数n（x）=xe^-x-$\frac{2}{e}$，则n′（x）=e^-x（1-x）．
所以当x∈（0，1）时，n′（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，n′（x）＜0．
故n（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
从而n（x）在（0，+∞）上的最大值为n（1）=-$\frac{1}{e}$；
因为m_min（x）=m（1）=n_max（x），
所以当x＞0时，m（x）＞n（x），
即f（x）+$\frac{2}{eg（x）}$＞0．

点评 本题考查了导数的应用，考查函数的单调性问题，考查了利用导数求函数的最值，是中高档题．