Question

15．已知数列{a_n}满足${a_{n+1}}+{a_n}=（n+1）•cos\frac{nπ}{2}（n≥2，n∈{N^*}）$，S_n是数列{a_n}的前n项和，若S₂₀₁₇+m=1010，且a₁•m＞0，则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{m}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $2+\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由S₂₀₁₇-a₁=（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₂₀₁₆+a₂₀₁₇），结合余弦函数值求和，再由S₂₀₁₇+m=1010，可得a₁+m=2，由a₁•m＞0，可得a₁＞0，m＞0，运用乘1法和基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：数列{a_n}满足${a_{n+1}}+{a_n}=（n+1）•cos\frac{nπ}{2}（n≥2，n∈{N^*}）$，
可得a₂+a₃=3cosπ=-3，a₄+a₅=5cos2π=5，a₆+a₇=7cos3π=-7，
…，a₂₀₁₆+a₂₀₁₇=2017cos1008π=2017，
则S₂₀₁₇-a₁=（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₂₀₁₆+a₂₀₁₇）=-3+5-7+9-…+2017=1008，
又S₂₀₁₇+m=1010，
所以a₁+m=2，
由a₁•m＞0，可得a₁＞0，m＞0，
则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{m}$=$\frac{1}{2}$（a₁+m）（$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{m}$）=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{m}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{1}}{m}$）≥$\frac{1}{2}$（2+2$\sqrt{\frac{m}{{a}_{1}}•\frac{{a}_{1}}{m}}$）=2．
当且仅当a₁=m=1时，取得最小值2．
故选：A．

点评 本题考查数列与三角函数的结合，注意运用整体思想和转化思想，考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．