Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+?）的部分图象如图所示，若函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线对称．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）若关于x的方程3[g（x）]²-mg（x）+1=0在区间上有解，求实数m的取值范围；
（3）令F（x）=f（x）+g（x），x∈[0，π]，求函数F（x）的值域．

Answer 1

解：（1）由图可知，A=1，
，∴ω=1，
即．
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
又3[g（x）]²-mg（x）+1=0，
∴，
①当g（x）=0时，m∈φ；
②当时，=≤-3×2=-2
∴；
③当0＜g（x）≤1时，≥3×2=2
∴．
综上，实数m的取值范围是．
（3）∵F（x）=f（x）+g（x），
∴=．
又x∈[0，π]，∴，
∴，
即，
∴函数函数F（x）的值域为．
分析：（1）利用函数图象先求函数的振幅和周期，再确定初相φ的值，最后利用函数图象的对称性，求得函数g（x）的解析式即可
（2）先求函数g（x）在区间上的值域，再将方程有解问题转化为求函数，的值域问题，利用均值定理即可求得函数值域；
（3）先利用三角变换公式将函数F（x）的解析式化简为y=Asin（ωx+φ）型函数，再利用正弦函数的图象和性质求函数值域即可
点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，三角变换公式在化简和求值中的应用，均值定理求函数最值的方法，属中档题