Question

5．如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为$\sqrt{2}$的正方形，矩形ADD₁A₁所在的平面垂直于平面ABCD，且AA₁=2，则该几何体ABCD-A₁D₁的外接球的体积是（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{2}π}}{3}$
• B． $\frac{{4\sqrt{2}π}}{3}$
• C． $2\sqrt{2}π$
• D． $\frac{{8\sqrt{2}π}}{3}$

Answer 1

分析 将该几何体补成一个长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，该几何体ABCD-A₁D₁的外接球就是长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球，可得球的直径，即可求出该几何体ABCD-A₁D₁的外接球的体积．

解答 解：将该几何体补成一个长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
该几何体ABCD-A₁D₁的外接球就是长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球，
所以球的直径是$\sqrt{{{（\sqrt{2}）}^2}+{{（\sqrt{2}）}^2}+{2^2}}=2\sqrt{2}$，
所以该几何体ABCD-A₁D₁的外接球的体积$\frac{4}{3}π{（\sqrt{2}）^3}=\frac{{8\sqrt{2}π}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查该几何体ABCD-A₁D₁的外接球的体积，考查学生的计算能力，将该几何体补成一个长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁是关键．