【题目】已知函数,其中
;
(l)判断函数是否存在极值,若存在,请判断是极大值还是极小值;若不存在,说明理由;
(2)讨论在上函数
的零点个数.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1) ,设
,
,因此
单调递减,
,讨论
正负即可判断出极值情况;
(2)由(1)可知若时,
恒为增函数,计算可知
,此时无零点, 若
时,
,可求得
,讨论
与
的关系,及若
,
,函数在区间
的单调性及函数值在区间端点的符号,即可得出结论.
(1),设
,
,因此
单调递减,
,
又时,
,
若,即
时,
,使
;
当时,
,
单调递增,
当时,
,
单调递减,
在
处取极大值,不存在极小值.
若,即
,
,
在
单调递增,此时
无极值.
(2)由第一问结论可知:
(i)若时,由上问可知:
,
即时函数没有零点.
(ii)若时,
时
单调递增;
时,
单调递减.
由,得
,
从而,再设
,
则,从而a关于
单调递增.
①若,此时
,
若得
或
,
所以时无零点;
若得
,
所以时有一个零点;
当,
,有一个零点.
因此时无零点;
时有一个零点;
②此时
,
,
,
,
设,
则,
所以,
若即
,即
时无零点;
若即
,即
时有一个零点.
综上所述:时无零点;
时有一个零点.
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【题目】发展“会员”、提供优惠,成为不少实体店在网购冲击下吸引客流的重要方式.某连锁店为了吸引会员,在2019年春节期间推出一系列优惠促销活动.抽奖返现便是针对“白金卡会员”、“金卡会员”、“银卡会员”、“基本会员”不同级别的会员享受不同的优惠的一项活动:“白金卡会员”、“金卡会员”、“银卡会员”、“基本会员”分别有4次、3次、2次、1次抽奖机会.抽奖机如图:抽奖者第一次按下抽奖键,在正四面体的顶点出现一个小球,再次按下抽奖键,小球以相等的可能移向邻近的顶点之一,再次按下抽奖键,小球又以相等的可能移向邻近的顶点之一……每一个顶点上均有一个发光器,小球在某点时,该点等可能发红光或蓝光,若出现红光则获得2个单位现金,若出现蓝光则获得3个单位现金.
(1)求“银卡会员”获得奖金的分布列;
(2)表示第
次按下抽奖键,小球出现在
点处的概率.
①求,
,
,
的值;
②写出与
关系式,并说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
(
为参数).以直角坐标系的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)若过点的直线
与
交于
,
两点,与
交于
,
两点,求
的取值范围.
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【题目】若数列满足
,
,记数列
的前n项和是
,则( )
A.若数列是常数列,则
B.若,则数列
单调递减
C.若,则
D.若,任取
中的9项
构成数列
的子数列
,则
不全是单调数列
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【题目】唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示.其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画,体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑,忽略杯壁厚度),如图2所示.已知球的半径为R,酒杯内壁表面积为,设酒杯上部分(圆柱)的体积为
,下部分(半球)的体积为
,则
( )
A.2B.C.1D.
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【题目】2020年新型冠状病毒肺炎(简称“新冠肺炎”)成为威胁全球的公共卫生问题,中医药在本次新冠肺炎的治疗中发挥了重要作用.研究人员对66例普通型新冠肺炎恢复期患者进行了中医临床特征分析,发现主要证型有气阴两虚证与肺脾气虚证,同时可能兼夹湿证.为研究这两种主要证型在兼夹湿证的难易上是否有差异,研究人员将湿证症状分级量化,将所有肺脾气虚证患者的量化分作成茎叶图.
(1)若量化分不低于16分,即可诊断为兼夹湿证,请参考茎叶图,完成下面列联表.
夹湿证 | 非夹湿证 | 合计 | |
气阴两虚 | 20 | ||
肺脾气虚 | |||
合计 | 66 |
(2)根据此资料,能否有99%的把握认为两种主要证型在兼夹湿证的难易上有差异?
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】函数f(x)=ex+asinx,x∈(-π,+∞),下列说法正确的是( )
A.当a=1时,f(x)在(0,f(0))处的切线方程为2x-y+1=0
B.当a=1时,f(x)存在唯一极小值点x0且-1<f(x0)<0
C.对任意a>0,f(x)在(-π,+∞)上均存在零点
D.存在a<0,f(x)在(-π,+∞)上有且只有一个零点
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