Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足$\sqrt{3}$csinA=acosC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）当$\sqrt{3}$cosA+cosB取得最大值时，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知等式可得$tanC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，结合角C的范围即可得解．
（Ⅱ）由（1）知$B=\frac{5π}{6}-A$，则化简$\sqrt{3}cosA+cosB$可得$sin（A+\frac{π}{3}）$，结合A的范围可求$\sqrt{3}cosA+cosB$取得最大值1时A，B，C的值，从而得解．

解答 解：（Ⅰ）由$\sqrt{3}csinA=acosC$结合正弦定理变形得：$\frac{a}{sinA}=\frac{{\sqrt{3}c}}{cosC}=\frac{c}{sinC}$（3分）
从而$\sqrt{3}sinC=cosC$，$tanC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，…（6分）
∵0＜C＜π，∴$C=\frac{π}{6}$； …（7分）
（Ⅱ）由（1）知$B=\frac{5π}{6}-A$…（8分）
则$\sqrt{3}cosA+cosB$=$\sqrt{3}cosA+cos（\frac{5π}{6}-A）$=$\sqrt{3}cosA-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA$=$sin（A+\frac{π}{3}）$（11分）
∵$0＜A＜\frac{5π}{6}$，∴$\frac{π}{3}＜A+\frac{π}{3}＜\frac{7π}{6}$…（12分）
当$A+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$时，$\sqrt{3}cosA+cosB$取得最大值1，…（13分）
此时$A=\frac{π}{6}，B=\frac{2π}{3}$，$C=\frac{π}{6}$，…（14分）
故此时△ABC为等腰三角形．…（15分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数中的恒等变换应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查．