Question

13．已知 {a_n}是等差数列，其公差为非零常数 d，前 n 项和为 S_n．设数列{$\frac{S_n}{n}$}的前 n 项和为 T_n，当且仅当 n=6 时，T_n有最大值，则$\frac{a_1}{d}$的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{5}{2}$）
• B． （-3，+∞）
• C． （-3，-$\frac{5}{2}$）
• D． （-3，+∞）∪（-$\frac{5}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由等差数列前n项和公式得$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{d}{2}n+（{a}_{1}-\frac{d}{2}）$，由数列{$\frac{S_n}{n}$}的前 n 项和为 T_n，当且仅当 n=6 时，T_n有最大值，列出不等式组，能求出$\frac{a_1}{d}$的取值范围．

解答 解：∵{a_n}是等差数列，其公差为非零常数 d，前 n 项和为 S_n．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{d}{2}n+（{a}_{1}-\frac{d}{2}）$，
∵数列{$\frac{S_n}{n}$}的前 n 项和为 T_n，当且仅当 n=6 时，T_n有最大值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{S}_{6}}{6}={a}_{1}+\frac{5}{2}d＞0}\\{\frac{{S}_{7}}{7}={a}_{1}+3d＜0}\\{d＜0}\end{array}\right.$，
解得-3＜$\frac{{a}_{1}}{d}$＜-$\frac{5}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查等差数列中首项与公差的比值的取值范围的求法，考查等比数列、等差数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．