Question

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得DE=2CD．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，

AP

=λ

AB

+μ

AE

．则λ-μ的取值范围为（　　）

• A、[-1，1]
• B、[-1，2]
• C、[-2，1]
• D、[0，2]

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（-2，1），

AP

=λ

AB

+μ

AE

=λ（1，0）+μ（-2，1）=（λ-2μ，μ）．对于点P在四条边的位置分类讨论即可得出．

解答： 解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，
则B（1，0），E（-2，1），

AP

=λ

AB

+μ

AE

=λ（1，0）+μ（-2，1）
=（λ-2μ，μ）．
当P∈AB时，有0≤λ-2μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ-μ≤1；
当P∈BC时，有λ-2μ=1，0≤μ≤1，
∴0≤λ-μ≤2；
当P∈CD时，有0≤λ-2μ≤1，μ=1，
∴1≤λ-μ≤2；
当P∈AD时，有λ-2μ=0，0≤μ≤1，∴0≤λ-μ≤1．
综上可得：0≤λ-μ≤2．
故选：D．

点评：本题考查了向量的坐标运算、不等式的性质，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．