Question

11．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=bsinθ}\end{array}$（θ为参数，a，b＞0），以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在此极坐标系下，直线E的极坐标方程为$ρsin（θ+\frac{π}{4}）$=4$\sqrt{2}$．
（1）将曲线C的参数方程及直线E的极坐标方程分别化为普通方程与直角坐标方程；
（2）若a=b，且曲线C与直线E相切，求a的值；
（3）若a=3，b=4，求曲线C上的点到直线E距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用cos²θ+sin²θ=1可把曲线C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=bsinθ}\end{array}$（θ为参数，a，b＞0），化为直角坐标方程．直线E的极坐标方程为$ρsin（θ+\frac{π}{4}）$=4$\sqrt{2}$，展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=4$\sqrt{2}$，即可化为极坐标方程．
（2）由a=b，曲线C为x²+y²=a²．根据曲线C与直线E相切的充要条件为圆心到直线的距离等于半径即可得出．
（3）当a=3，b=4时，曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，设P（3cosα，4sinα）是椭圆C上的一点，点P到直线E距离d=$\frac{|3cosα+4sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{8-5sin（α+φ）}{\sqrt{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=bsinθ}\end{array}$（θ为参数，a，b＞0），化为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
直线E的极坐标方程为$ρsin（θ+\frac{π}{4}）$=4$\sqrt{2}$，展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=4$\sqrt{2}$，直角坐标方程为y+x-8=0．
（2）由a=b，曲线C为x²+y²=a²．∵曲线C与直线E相切，
∴a=$\frac{8}{\sqrt{2}}$，解得a=4$\sqrt{2}$．
（3）当a=3，b=4时，曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，
设P（3cosα，4sinα）是椭圆C上的一点，点P到直线E距离d=$\frac{|3cosα+4sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（α+φ）-8|}{\sqrt{2}}$$≥\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴曲线C上的点到直线E距离的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的参数方程及其应用、直线与椭圆的位置公式、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．