Question

19．已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=2a_n+n，b_n=2（a_n+n+1），c_n=（4+2a_n-a_n+1）b_n，其中λ为实数，n为正整数．
（1）若a₁、b₂、a₃成等差数列，求λ的值；
（2）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）当λ=-1时，设T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n及T_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）表示出a₂=2λ+1，a₃=4λ+4，b₂=4λ+8，运用等差中项求解即可得出λ=-4，
（2）运用递推关系式得出b_n+1=2（a_n+1+n+2）=2（2a_n+2n+2）=2b_n，项为0与否分类讨论判断等比数列问题．
（3）得出T_n=3×2¹+2×2²+1×2³+…+（4-n）2ⁿ，运用错位相减法求解T${\;}_{{\;}_{n}}$₊₁=（4-n）2ⁿ⁺²-10，再根据关于n的函数的单调性判断最大项即可．

解答 解；（1）由题意得a₂=2λ+1，a₃=4λ+4，b₂=4λ+8，
∵a₁、b₂、a₃成等差数列，
∴8λ+16=λ+4λ+4，
解得：λ=-4，
（2）∵b_n=2（a_n+n+1），
∴b_n+1=2（a_n+1+n+2）=2（2a_n+2n+2）=2b_n，
∵b₁=2（λ+2），
∴当λ=-2时，数列{b_n}不是等比数列，
当λ≠-2时，数列{b_n}是等比数列．
（3）当λ=-1时，数列{b_n}是等比数列，其中b₁=2，
∴b_n=2ⁿ，
∵c_n=（4+2a_n-a_n+1）b_n，
∴c_n=（4-n）2ⁿ，
∴T_n=3×2¹+2×2²+1×2³+…+（4-n）2ⁿ，①
2T_n=3×2²+2×2³+1×2⁴+…+（4-n）2ⁿ⁺¹，②
②-①得出：T_n=-6+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ+（4-n）2ⁿ⁺¹
=-8+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+（4-n）2ⁿ⁺¹=（5-n）2ⁿ⁺¹-10，
从而T${\;}_{{\;}_{n}}$₊₁=（4-n）2ⁿ⁺²-10，
T${\;}_{{\;}_{n}}$₊₁-T_n=（3-n）2ⁿ⁺¹，
∴当1≤n＜3时，T${\;}_{{\;}_{n}}$₊₁＞T_n，数列{T_n}是单调递增，
当n=3时，T${\;}_{{\;}_{n}}$₊₁=T_n．即T₄=T₃，
当n＞3时，T${\;}_{{\;}_{n}}$₊₁-T_n＜0，数列{T_n}是单调递减，
∴当n=3，n=4时，T_n最大，此时T_n=22．

点评 本题综合考查了数列的定义性质，知三求二的题型，分类讨论，错位相减思想的运用，考查了运算化简的能力，属于难题．