Question

如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC₁上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是

 

．（写出所有正确命题的编号） 
①当0＜CQ＜

1

2

时，S为四边形
②当CQ=

1

2

时，S为等腰梯形
③当CQ=

3

4

时，S与C₁D₁交点R满足C₁R₁=

1

3

④当

3

4

＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为

6

．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：易知，过点A，P，Q的平面必与面ADA₁，BC₁C相交，且交线平行，据此，当Q为C₁C中点时，截面与面ADD₁交与AD₁，为等腰梯形，据此可以对①②进行判断；
连接AP，延长交DC于一点M，再连接MQ并延长其交D₁D于N，连接AN，可见，截面此时不会与面ABB₁相交，据此判断③④，
当CQ=1时，截面为底为

2

，腰长为

5

2

的等腰梯形，由此可求其面积．判断⑤．

解答： 解：设截面与DD₁相交于T，则AT∥PQ，且AT=2PQ⇒DT=2CQ．
对于①，当0＜CQ＜

1

2

时，则0＜DT＜1，所以截面S为四边形，且S为梯形，所以为真．
对于②，当CQ=

1

2

时，DT=1，T与D重合，截面S为四边形APQO₁，所以AP=D₁Q，截面为等腰梯形，所以为真．
对于③，当CQ=

3

4

，QC₁=

1

4

，DT=2，D₁T=

1

2

，利用三角形相似解得，C₁R₁=

1

3

，所以为真．
对于④，当

3

4

＜CQ＜1时，

3

2

＜DT＜2，截面S与线段A₁D₁，D₁C₁相交，所以四边形S为五边形，所以为假．
对于⑤，当CQ=1时，Q与C₁重合，截面S与线段A₁D₁相交于中点G，即即为菱形APC₁G，对角线长度为

2

和

3

，S的面积为

6

2

，所以为假，
综上，选①②③．

点评：此题考查了截面的性质，关键是利用面面平行、面面相交的性质确定截面的顶点．