Question

15．已知数列{a_n}中，a₁＜0，a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}（n∈{N^*}）$，数列{b_n}满足：b_n=na_n（n∈N^*），设S_n为数列{b_n}的前n项和，当n=7时S_n有最小值，则a₁的取值范围是$（{-\frac{1}{18}，-\frac{1}{21}}）$ ．

Answer 1

分析 数列{a_n}中，a₁＜0，a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}（n∈{N^*}）$，区倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，利用等差数列的通项公式可得：a_n=$\frac{{a}_{1}}{1+3{（n-1）a}_{1}}$．b_n=na_n=$\frac{n{a}_{1}}{1+3（n-1）{a}_{1}}$，设S_n为数列{b_n}的前n项和，当n=7时S_n有最小值，可得b₇＞0，b₈＜0．解出即可得出．

解答 解：数列{a_n}中，a₁＜0，a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}（n∈{N^*}）$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，公差为3．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+3（n-1）．
解得a_n=$\frac{{a}_{1}}{1+3{（n-1）a}_{1}}$．
∴b_n=na_n=$\frac{n{a}_{1}}{1+3（n-1）{a}_{1}}$，
设S_n为数列{b_n}的前n项和，当n=7时S_n有最小值，∴b₇＞0，b₈＜0．
∴$\frac{7{a}_{1}}{1+18{a}_{1}}$＞0，$\frac{8{a}_{1}}{1+21{a}_{1}}$＜0，
解得$-\frac{1}{18}＜{a}_{1}＜-\frac{1}{21}$．
则a₁的取值范围是：$（{-\frac{1}{18}，-\frac{1}{21}}）$．
故答案为：$（{-\frac{1}{18}，-\frac{1}{21}}）$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．