Question

（本题14分）

已知函数，．

(1)若在区间上单调递增，求的取值范围；

(2)试讨论的单调区间．

Answer 1

(1) ;

(2) 当时，的单调增区间为，单调减区间为

当时，的单调增区间为,，单调减区间为

当时，的单调增区间为

【解析】

试题分析：(1)根据函数在某区间上为增函数，则其导数值在此区间大于或等于0，即 ，将其转化为不等式在上恒成立问题，只需，求出即可；(2)由构造法，构造函数，则，与同正负，考察函数，计算，下面对进行讨论：

当即时，分两种情况讨论：①当时、②当时

当即时，讨论、的正负，若>0,则此区间为增区间，若<0，则此区间为减区间.

试题解析：（1）因为在区间上单调递增，则当，恒成立 2分

由得：

因为二次函数在的最小值为， 4分

从而有，

所以，当时，在上单调递减. 5分

（2），构造函数，则

函数的定义域为，与同正负 6分

考察函数，计算，下面对进行讨论

. 当即时，分两种情况讨论：

①当时：

当时，，即，所以的单调增区间为；

且当时，，即，所以的单调减区间为

8分

②当时：

当和时，，即，所以的单调增区间为和； 9分

当时，，即，所以的单调减区间为

10分

. 当即时，对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，所以的单调增区间为 12分

综上，当时，的单调增区间为，单调减区间为

当时，的单调增区间为和，单调减区间为

当时，的单调增区间为 14分

考点：1、导数的正负与函数的单调性；2、不等式恒成立、3、分类整合思想.