Question

【题目】设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an ， n∈N* ． 设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn﹣b1=S1Sn ， n∈N*（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=bnlog3an ， 求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵an+1=3an ， ∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列， ∴通项公式为an=3n﹣1 ．
∵2bn﹣b1=S1Sn ， ∴当n=1时，2b1﹣b1=S1S1 ，
∵S1=b1 ， b1≠0，∴b1=1．
∴当n＞1时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣2bn﹣1 ， ∴bn=2bn﹣1 ，
∴{bn}是公比为2，首项a1=1的等比数列，
∴通项公式为bn=2n﹣1 ．
（Ⅱ）cn=bnlog3an=2n﹣1log33n﹣1=（n﹣1）2n﹣1 ，
Tn=020+121+222+…+（n﹣2）2n﹣2+（n﹣1）2n﹣1…①
2Tn=021+122+223+…+（n﹣2）2n﹣1+（n﹣1）2n…②
①﹣②得：﹣Tn=020+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n﹣1）2n
=2n﹣2﹣（n﹣1）2n=﹣2﹣（n﹣2）2n
∴Tn=（n﹣2）2n+2．
【解析】（Ⅰ）判断an}是等比数列，求出通项公式，判断{bn}是等比数列，求出通项公式为bn ． （Ⅱ）化简cn的表达式，利用错位相减法求解Tn即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．