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    已知函数f（x）对任意实数p、q都满足f（p+q）=f（p）•f（q），且f(1)=
    1
    3
    ．
    （1）当n∈N+时，求f（n）的表达式；
    （2）设an=nf(n)
     &(n∈N+
    ，求证：
    n
    k=1
    ak＜
    3
    4
    ；
    （3）设bn=
    nf(n+1)
    f(n)
     &(n∈N+)， Sn=
    n
    k=1
    bk
    ，试比较
    n
    k=1
    1
    Sk
    与6的大小．
    分析：（1）由题设知：f(n)=f(n-1)•f(1)=
    1
    3
    •f(n-1)=(
    1
    3
    )2•f(n-2)=…    =(
    1
    3
    )n-1•f(1)=(
    1
    3
    )n    ．　　　
    （2）由（1）可　知　an=n•(
    1
    3
    )n    ，设Tn=
    n
    k=1
    ak    则Tn=1•
    1
    3
    +2•(
    1
    3
    )2+…+n•(
    1
    3
    )n    ．利用错位相减法能证明
    n
    k=1
    ak＜
    3
    4
    ．
    （3）由（1）可知bn=
    1
    3
    n    ，故Sn=
    n
    k=1
    bk    =
    1
    3
    (1+2+…+n)    =
    n(n+1)
    6
    ，所以
    1
    Sn
    =
    6
    n(n+1)
    =6(
    1
    n
    -
    1
    n+1
    )    ，由此能够证明
    n
    k=1
    ak＜
    3
    4
    ．
    解答：（1）解：∵函数f（x）对任意实数p、q都满足f（p+q）=f（p）•f（q），且f(1)=
    1
    3
    ，
    ∴f(n)=f(n-1)•f(1)=
    1
    3
    •f(n-1)=(
    1
    3
    )2•f(n-2)=…    =(
    1
    3
    )n-1•f(1)=(
    1
    3
    )n    ．　　　
    （2）证明：由（1）可　知　an=n•(
    1
    3
    )n    ，
    设Tn=
    n
    k=1
    ak
    则Tn=1•
    1
    3
    +2•(
    1
    3
    )2+…+n•(
    1
    3
    )n    ．
    ∴
    1
    3
    Tn=1•(
    1
    3
    )2+2•(
    1
    3
    )3+…+(n-1)(
    1
    3
    )n+n•(
    1
    3
    )n+1    ．
    两式相减得
    2
    3
    Tn=
    1
    3
    +(
    1
    3
    )2+(
    1
    3
    )3    +…+(
    1
    3
    )n-n•(
    1
    3
    )n+1
    =
    1
    2
    [1-(
    1
    3
    )    n    ]-n•(
    1
    3
    )n+1    ，
    ∴Tn=
    n
    k=1
    ak=
    3
    4
    -
    1
    4
    (
    1
    3
    )n-1-
    n
    2
    •(
    1
    3
    )n＜
    3
    4
    ．     
    （3）解：由（1）可知bn=
    1
    3
    n    ，
    ∴Sn=
    n
    k=1
    bk    =
    1
    3
    (1+2+…+n)    =
    n(n+1)
    6
    ，
    则
    1
    Sn
    =
    6
    n(n+1)
    =6(
    1
    n
    -
    1
    n+1
    )    ，
    故有
    n
    k=1
    1
    Sk
    =6(1-
    1
    2
    +
    1
    2
    -
    1
    3
    +…+
    1
    n
    -
    1
    n+1
    )
    =6(1-
    1
    n+1
    )＜6    ．
    点评：本题考查数列与不等式的综合运用，考查f（n）的表达式的求法，求证：
    n
    k=1
    ak＜
    3
    4
    ，试比较
    n
    k=1
    1
    Sk
    与6的大小．解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法和裂项求和法的灵活运用．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=ex，直线l的方程为y=kx+b．
    （1）求过函数图象上的任一点P（t，f（t））的切线方程；
    （2）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；
    （3）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）成立，求实数k、b应满足的条件．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
    （1）若x2-1比1远离0，求x的取值范围；
    （2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab
    		ab
    ；
    （3）已知函数f（x）的定义域D={{x|x≠
    kπ
    2
    +
    π
    4
    ，k∈Z，x∈R}    ．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
    （1）若x2-1比3接近0，求x的取值范围；
    （2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
    		ab
    ；
    （3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    ex
    ex+1
    ．
    （Ⅰ）证明函数y=f（x）的图象关于点（0，
    1
    2
    ）对称；
    （Ⅱ）设y=f-1(x)为y=f(x)的反函数，令g(x)=f-1(
    x+1
    x+2
    )，是否存在实数b    ，使得任给a∈[
    1
    4
    ，
    1
    3
    ]，对任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2    +b恒成立？若存在，求b的取值范围；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•海淀区一模）已知函数f（x）=
    1，x∈Q
    0，x∈CRQ
    ，则f（f（x））=
    1
    1

    下面三个命题中，所有真命题的序号是
    ①②③
    ①②③
    ．
    ①函数f（x）是偶函数；
    ②任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立；
    ③存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．

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