Question

已知向量

a

=（sin（

x

2

+

π

12

），cos

x

2

），

b

=（cos（

x

2

+

π

12

），-cos

x

2

），x∈[

π

2

，π]，设函f（x）=

a

•

b

．
（1）若cosx=-

3

5

，求函数f（x）的值；
（2）将函数f（x）的图象先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，使平移后的图象关于原点对称，若0＜m＜π，n＞0，试求m，n的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可得sinx=

4

5

，可得f（x）=

a

•

b

=

1

2

(

3

2

sinx-

1

2

cosx-1)，代值计算可得；（2）由图象变换的知识可知平移后y=

1

2

sin(x-m-

π

6

)-

1

2

+n，由对称性可得y=

1

2

sin(x-m-

π

6

)-

1

2

+n=±

1

2

sinx，可得m，n的值．

解答： 解：（1）∵cosx=-

3

5

，x∈[

π

2

，π]，∴sinx=

4

5

．
∴f（x）=

a

•

b

=sin(

x

2

+

π

12

)•cos(

x

2

+

π

12

)-cos2

x

2

=

1

2

sin(x+

π

6

)-

1

2

（1+cosx）
=

1

2

(

3

2

sinx-

1

2

cosx-1)=

3

5

-

7

20

；
（2）由（1）知f（x）=

1

2

(

3

2

sinx-

1

2

cosx-1)=

1

2

•sin(x-

π

6

)-

1

2

，
f（x）的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位后，
变为y=

1

2

sin(x-m-

π

6

)-

1

2

+n，…（9分）
由于其图象关于原点对称，故y=

1

2

sin(x-m-

π

6

)-

1

2

+n=±

1

2

sinx，
则m，n的值分别为

5π

6

，

1

2

点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及图象的变换，属中档题．