Question

已知函数f（x）=2sin（2x-

π

6

）-a+2（其中a为常数）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为3，求a的值；
（3）求出使f（x）取最大值时x取值的集合．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）对于函数f（x）=2sin（2x-

π

6

）-a+2，利用正弦函数的单调性求得它的单调区间．
（2）根据x∈[0，

π

2

]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最大值．
（3）当f（x）取最大值时，应有2x-

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈z，由此求得此时x取值的集合．

解答： 解：（1）对于函数f（x）=2sin（2x-

π

6

）-a+2，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
故函数的增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，
故函数的减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈z
（2）∵x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
故函数f（x）的最大值为2-a+2=4-a=3，∴a=1．
（3）求出使f（x）取最大值时，有 2x-

π

6

=

π

2

+2kπ，求得 x=

π

3

+kπ，k∈z，
故此时x取值的集合为 {x|x=

π

3

+kπ，k∈z }．

点评：本题主要考查正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，求三角函数的最值，属于基础题．