Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为

6

3

，点R坐标为（2

2

，

6

），又点F₂在线段RF₁的中垂线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左右顶点分别为A₁，A₂，点P在直线x=-2

3

上（点P不在x轴上），直线PA₁与椭圆C交于点N，直线PA₂与椭圆C交M，线段MN的中点为Q，证明：2|A₁Q|=|MN|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

c

a

=

6

3

，|F1F2|=|RF2|，(2c)2=(

6

)2+(2

2

-c)2，由此能求出椭圆C的方程． 
（Ⅱ）设PA₁的方程为y=k(x+

3

)（k≠0），PA₂方程为y=

k

3

(x-

3

)，由方程组

y= k 3 (x- 3 ) x2 3 +y2=1.

，得(3+k2)x2-2

3

k2x+3k2-9=0，由此求出KMA1=

yM-0

xM+ 3

，化简后KMA1=-

1

k

，三角形MNA₁为直角三角形，Q为斜边中点，从而能证明2|A₁Q|=|MN|．

解答： （Ⅰ）解：∵e=

6

3

，∴

c

a

=

6

3

，
∵F₂（c，0）在PF₁的中垂线上，
∴|F1F2|=|RF2|，(2c)2=(

6

)2+(2

2

-c)2，解得c=2，a²=3，b²=1．
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．…（4分） 
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知A1(-

3

，0)，A2(

3

，0)，M(xM，yM)，
设PA₁的方程为y=k(x+

3

)（k≠0），则P坐标（-2

3

，-

3

k），
∴KPA2=

k

3

，∴PA₂方程为y=

k

3

(x-

3

)
由方程组

y= k 3 (x- 3 ) x2 3 +y2=1.

，消去y，整理得(3+k2)x2-2

3

k2x+3k2-9=0…（8分）
解得

3

xM=

3(k2-3)

k2+3

，
∴xM=

3 (k2-3)

k2+3

，yM=

k

3

(xM-

3

)=

-2 3 k

k2+3

∵KMA1=

yM-0

xM+ 3

，化简后KMA1=-

1

k

，
∴MA₁⊥NA₁，则三角形MNA₁为直角三角形，Q为斜边中点，
∴2|A₁Q|=|MN|…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆等椭圆知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．