Question

已知平面向量

a

与

b

不共线，若存在非零实数x，y，使得

c

=

a

+2x

b

，

d

=-y

a

+2（2-x²）

b

．
（1）当

c

=

d

时，求x，y的值；
（2）若

a

=（cos

π

6

，sin(-

π

6

)），

b

=（sin

π

6

，cos

π

6

），且

c

⊥

d

，试求函数y=f（x）的表达式．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平行向量与共线向量

专题：平面向量及应用

分析：（1）由条件得：（1+y）

a

+（2x-4+2x²）

b

=

0

，∵向量

a

与

b

不共线，故

1+y=0 2x2+2x-4=0

，解之即可；
（2）由条件可求|

a

|=|

b

|=1，

c

•

d

=0，

c

•

d

=（

a

+2x

b

）•[-y

a

+(4-2x2)

b

]=-y

a

2-2xy

a

•

b

+（4-2x²）

a

•

b

+2x（4-2x²）

b

2=-y+2x（4-2x²）=0，移项可得y的解析式．

解答： 解：（1）由条件得：

a

+2x

b

=-y

a

+(4-2x2)

b

，
∴（1+y）

a

+（2x-4+2x²）

b

=

0

，
∵向量

a

与

b

不共线，
∴

1+y=0 2x2+2x-4=0

，解得y=-1，x=1或x=-2．
（2）∵

a

•

b

=cos

π

6

sin

π

6

+sin（-

π

6

）cos

π

6

=0，∴

a

⊥

b

又∵

c

⊥

d

，∴

c

•

d

=0，又由条件可知，|

a

|=|

b

|=1
∴

c

•

d

=（

a

+2x

b

）•[-y

a

+(4-2x2)

b

]
=-y

a

2-2xy

a

•

b

+（4-2x²）

a

•

b

+2x（4-2x²）

b

2
=-y+2x（4-2x²）=0，∴y=8x-4x³，
即f（x）=8x-4x³

点评：本题为向量和三角函数的综合应用，用好数量积为0与向量垂直的等价关系是解决问题的关键，属中档题．