Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．若AB=6，BC=4，则DE=

 

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：根据直线MN切⊙O于点C，由弦线角定理我们易得∠BCM=∠A，再由BE∥MN，我们可得∠BCM=∠EBC，我们可判断出△ABC∽△BEC，由相似三角形对应边成比例，代入AB=6，BC=4，可求出AE的长，再利用相交弦定理即可得出结论．

解答： 解：∵直线MN切⊙O于点C，
∴根据弦切角可知∠BCM=∠A，
∵BE∥MN，
∴∠BCM=∠EBC，
∵∠A=∠EBC，∠ACB是公共角，
∴根据三角对应相等得到△ABC∽△BEC，
∴

AC

BC

=

BC

EC

，BE=BC=4．
∵AB=AC=6，BC=4，
∴EC=

8

3

，
∴AE=AC-EC=6-

8

3

=

10

3

．
∵BE•DE=AE•EC，
∴DE=

10 3 • 8 3

4

=

20

9

．
故答案为：

20

9

．

点评：本题考查弦切角定理，考查三角形相似的判定与性质，本题解题的关键是根据已知条件判断出△ABC∽△BEC，进而得到得到三角形对应边成比例，本题是一个中档题目．