Question

已知双曲线x²－＝1.
 
(1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点P(2,3)，求椭圆方程．
(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上的一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M.若AM＝MN，求∠AMB的余弦值；
(3)设过A、F、N三点的圆与y轴交于P、Q两点，当线段PQ的中点为(0,9)时，求这个圆的方程．

Answer 1

（1）＝1（2）－（3）x²＋y²＋2x－18y－8＝0

(1)∵双曲线焦点为(±2,0)，设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)．
则∴a²＝16，b²＝12.故椭圆方程为＝1.
(2)由已知，A(－4,0)，B(4,0)，F(2,0)，直线l的方程为x＝8.
设N(8，t)(t＞0)．∵AM＝MN，∴M.
由点M在椭圆上，得t＝6.
故所求的点M的坐标为M(2,3)．
所以＝(－6，－3)，＝(2，－3)，·＝－12＋9＝－3.
cos∠AMB＝＝＝－.
(3)设圆的方程为x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，将A、F、N三点坐标代入，得
得
圆的方程为x²＋y²＋2x－y－8＝0，令x＝0，得y²－y－8＝0.
设P(0，y₁)，Q(0，y₂)，则y_1,2＝.
由线段PQ的中点为(0,9)，得y₁＋y₂＝18，t＋＝18，
此时，所求圆的方程为x²＋y²＋2x－18y－8＝0