Question

6．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，$\overrightarrow{NA}$+$\overrightarrow{NB}$+$\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PA}$，则点O，N，P依次是△ABC的（　　）

• A． 重心，外心，垂心
• B． 重心，外心，内心
• C． 外心，重心，垂心
• D． 外心，重心，内心

Answer 1

分析 据O到三角形三个顶点的距离相等，得到O是三角形的外心，以NA，NB为邻边作平行四边形即可推出N在三角形的中线上，得出N为三角形的重心，将第三个条件两两相减，即可得到PA，PB，PC分别为三角形的高线，即P是三角形的垂心．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，∴OA=OB=OC，
∴O是△ABC的外心．
（2）以NA，NB为邻边作平行四边形NADB，AB，ND交于点E，
则$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{ND}=2\overrightarrow{NE}$，E是AB的中点．
∵$\overrightarrow{NA}$+$\overrightarrow{NB}$+$\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}=-\overrightarrow{NC}$，∴2$\overrightarrow{NE}$=$\overrightarrow{NC}$．
∴C，N，E三点共线，∴N在△ABC的边AB的中线上，
同理可得N在△ABC的另两边的中线上，
∴N为三角形ABC的重心．
（3）∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$，∴$\overrightarrow{PB}•$（$\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC}$）=0，即$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{AC}=0$，
∴PB⊥AC，
同理可证PA⊥BC，PC⊥AB，
∴P是△ABC的垂心．
故选：C．

点评 本小题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形五心等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．