Question

1．已知α、β∈（0，π），且tanα、tanβ是方程x²-5x+6=0的两根．
①求α+β的值．
②求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 由条件利用韦达定理，两角和差的正切、余弦公式，求得要求式子的值．

解答 解：①由根与系数的关系得：tanα+tanβ=5，tanα•tanβ=6，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=-1．
$\begin{array}{l}又tanα＞0，tanβ＞0，且α，β∈（0，π）$，∴$α，β∈（0，\frac{π}{2}），α+β∈（0，π），\\ 所以α+β=\frac{3π}{4}.\end{array}$∴α+β=$\frac{3π}{4}$．
②由（1）得$cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}…（3）$，再结合sinαsinβ=6cosαcosβ（4）），
联立（3）、（4）可得 sinαsinβ=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，cosαcosβ=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴$cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$．

点评 本题主要考查韦达定理，两角和差的正切、余弦公式，属于基础题．