Question

9．已知向量$\overrightarrow a=（sinx，cosx）$，向量$\overrightarrow b=（\sqrt{3}，-1）$，函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点向右平行移动$\frac{π}{6}$个单位长度，得函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，π]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积的运算法则求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y=g（x）在区间[0，π]上的值域．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow a=（sinx，cosx）$，向量$\overrightarrow b=（\sqrt{3}，-1）$，
∴函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\sqrt{3}$sinx-cosx=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得2kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，
可得函数的增区间为[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点向右平行移动$\frac{π}{6}$个单位长度，
得函数y=g（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=2sin（x-$\frac{π}{3}$） 的图象，
∵x∈[0，π]，∴x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，∴g（x）∈[$\sqrt{3}$，2]，
即函数y=g（x）在区间[0，π]上的值域为[$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦函数的单调性、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．