Question

6．设函数f（x）是定义在区间（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且满足xf′（x）+f（x）＜x，则不等式（x+2016）f（x+2016）+2f（-2）＞0的解集为（　　）

• A． （x|-2014＜x＜0}
• B． （x|x＜-2018}
• C． （x|x＞-2016}
• D． （x|-2016＜x＜-2014}

Answer 1

分析 根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论

解答 解：由f（x）+xf′（x）＜x，x＜0，
即[xf（x）]′＜x＜0，
令F（x）=xf（x），
则当x＜0时，F'（x）＜0，
即F（x）在（-∞，0）上是减函数，
F（x+2016）=（x+2016）f（x+2014），F（-2）=（-2）f（-2），
F（x+2016）-F（-2）＞0，
∵F（x）在（-∞，0）是减函数，
∴由F（x+2014）＞F（-2）得，
∴x+2016＜-2，
即x＜-2018．
故选B．

点评 本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键