Question

11．平面直角坐标系中，过原点的直线l与曲线y=e^x交于不同的A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与曲线y=$\sqrt{2}$lnx交于C，D两点，则直线CD的斜率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设直线l的方程为y=kx（k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞0，x₂＞0），则直线CD的斜率k_CD=$\frac{\sqrt{2}（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，根据A、B为直线l与曲线y=e^x交点可得kx₁=e${\;}^{{x}_{1}}$，kx₂=e${\;}^{{x}_{2}}$，两边取对数后代入斜率公式即可求得答案．

解答 解：设直线l的方程为y=kx（k＞0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞0，x₂＞0），
则C（x₁，$\sqrt{2}$lnx₁），D（x₂，$\sqrt{2}$lnx₂），
可得kx₁=e${\;}^{{x}_{1}}$⇒x₁=lnkx₁，kx₂=e${\;}^{{x}_{2}}$⇒x₂=lnkx₂，
则直线CD的斜率k_CD=$\frac{\sqrt{2}（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\sqrt{2}$•$\frac{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{lnk{x}_{2}-lnk{x}_{1}}$=$\sqrt{2}$•$\frac{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与曲线的位置关系及直线斜率的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．