Question

20．已知cosx=-$\frac{3}{5}$，x∈（${\frac{π}{2}$，π）．
（Ⅰ）求$sin（x+\frac{π}{3}）$的值；
（Ⅱ）求$sin（{2x+\frac{π}{6}}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinx的值，进而利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用倍角公式可求sin2x，cos2x的值，进而利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．

解答 解：（Ⅰ）∵$cosx=-\frac{3}{5}，x∈（{-\frac{π}{2}，π}），\\∴sinx=\frac{4}{5}…（2分）$
$\begin{array}{l}∴sin（{x+\frac{π}{3}}）\\=sinxcos\frac{π}{3}+cosxsin\frac{π}{3}…（4分）\\=\frac{4}{5}×\frac{1}{2}-\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\=\frac{{4-3\sqrt{3}}}{10}…（6分）\end{array}$
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$cosx=-\frac{3}{5}，sinx=\frac{4}{5}$，
$\begin{array}{l}∴sin2x=2sinxcosx=-\frac{24}{25}…（8分）\\ cos2x=2{cos^2}x-1=-\frac{7}{25}…（10分）\\∴sin（{2x+\frac{π}{6}}）\\=sin2xcos\frac{π}{6}+cos2xsin\frac{π}{6}\\=-\frac{24}{25}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{7}{25}×\frac{1}{2}\\=-\frac{{24\sqrt{3}+7}}{50}…（14分）\end{array}$

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．