Question

8．已知复数z=x+yi，x，y∈R，且|z-3|=1，则x²+y²+4x+1的最大值为33．

Answer 1

分析 复数z=x+yi，x，y∈R，设P（x，y），由|z-3|=1，表示以（3，0）为圆心，1为半径的圆．则x²+y²+4x+1=（x+2）²+y²-3．求出点Q（-2，0）与点Q的距离|PQ|，即可得出．

解答 解：复数z=x+yi，x，y∈R，设P（x，y），
由|z-3|=1，表示复平面上以（3，0）为圆心，1为半径的圆．
则x²+y²+4x+1=（x+2）²+y²-3．
点Q（-2，0）与点Q的距离|PQ|=$\sqrt{（3+2）^{2}+0}$=5．
∴（x²+y²+4x+1）_max=（5+1）²-3=33．
故答案为：33．

点评 本题考查了复数形式的圆的方程、两点之间的距离公式、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．