Question

17．在数列{a_n}中，已知a₁＞1，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），且$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$=2．则当a₂₀₁₆-4a₁取得最小值时，a₁的值为=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 a₁＞1，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），变形为a_n+1-1=a_n（a_n-1），两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，即$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，利用“裂项求和”方法、基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a₁＞1，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），
∴a_n+1-1=a_n（a_n-1），
两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，即$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，
∴2=$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$=$（\frac{1}{{a}_{1}-1}-\frac{1}{{a}_{2}-1}）$+$（\frac{1}{{a}_{2}-1}-\frac{1}{{a}_{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{2015}-1}-\frac{1}{{a}_{2016}-1}）$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2016}-1}$，
化为：a₂₀₁₆=$\frac{2-{a}_{1}}{3-2{a}_{1}}$，
∴a₂₀₁₆-4a₁=$\frac{2-{a}_{1}}{3-2{a}_{1}}$-4a₁=$\frac{1}{6-4{a}_{1}}$+（6-4a₁）-$\frac{11}{2}$≥2-$\frac{11}{2}$=-$\frac{7}{2}$．当且仅当a₁=$\frac{5}{4}$＞1时取等号．
∴a₁的值为：$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．