Question

9．已知函数f（x）=x³-mx，直线l₁∥l₂，l₁与函数f（x）图象切于点A、交于点B，l₂与函数f（x）图象切于点C、交于点D．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若四边形ABCD为矩形，求m的取值范围；
（3）若四边形ABCD为正方形，求m的值．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，f（x₁）），C（x₂，f（x₂）），求得函数的导数，运用两直线平行的条件，可得斜率相等，求得l₁的方程，联立函数，解方程可得B的坐标，运用对称思想，即可得证；
（2）若四边形ABCD为矩形，即有AB⊥AD，即为k_AB•k_AD=-1，运用直线的斜率公式，化简整理可得21x₁⁴-10mx₁²+m²+1=0，令t=x₁²，则21t²-10mt+1+m²=0，运用方程有正数解的条件，解不等式即可得到所求范围；
（3）四边形ABCD为正方形，则AB⊥AD，且AC⊥BD，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程即可得到所求m的值．

解答 解：（1）证明：设A（x₁，f（x₁）），C（x₂，f（x₂）），
由函数f（x）=x³-mx的导数为f′（x）=3x²-m，
又线l₁∥l₂，可得在x=x₁处的切线和x=x₂处的切线的斜率相等，
即为3x₁²-m=3x₂²-m，化简可得x₂=-x₁，
即有C（-x₁，f（-x₁）），即A，C关于原点对称，
可设l₁的方程为y-f（x₁）=（3x₁²-m）（x-x₁），
联立函数y=x³-mx，消去y，可得，（x-x₁）²（x+2x₁）=0，
解得x=x₁，或x=-2x₁，
即有B（-2x₁，f（-2x₁）），
将x₁，换为-x₁，可得D（2x₁，f（2x₁）），
即B，D关于原点对称，可得四边形ABCD为平行四边形；
（2）若四边形ABCD为矩形，即有AB⊥AD，
即为k_AB•k_AD=-1，即$\frac{f（{x}_{1}）-f（-2{x}_{1}）}{3{x}_{1}}$•$\frac{f（{x}_{1}）-f（2{x}_{1}）}{-{x}_{1}}$=-1，
化简可得（3x₁²-m）（7x₁²-m）=-1，
即为21x₁⁴-10mx₁²+m²+1=0，
令t=x₁²，则21t²-10mt+1+m²=0，（*）
由（*）有正数解，可得1+m²＞0，$\frac{5m}{21}$＞0，△=100m²-4×21（1+m²）≥0，
解得m≥$\frac{\sqrt{21}}{2}$；
（3）四边形ABCD为正方形，则AB⊥AD，且AC⊥BD，
由AB⊥AD，由（2）可得21x₁⁴-10mx₁²+m²+1=0，①
由AC⊥BD，可得k_AC•k_BD=-1，
即有$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$•$\frac{f（-2{x}_{1}）}{-2{x}_{1}}$=-1，化简可得4x₁⁴-5mx₁²+m²+1=0，②
由①②解得x₁²=$\frac{5}{17}$m，代入①，可得m=$\frac{17}{6}$（负的舍去）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查两直线平行和垂直的条件，同时考查四边形为平行四边形和矩形、正方形的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．