Question

4．已知sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，α∈（0，π），求tanα的值．

Answer 1

分析 将已知等式平方并结合sin²α+cos²α=1，得到2sinαcosα，由此算出（sinα-cosα）²，得sinα-cosα，从而解出sinα，cosα，再利用同角三角函数的商数关系，即可算出tanα的值．

解答 解：∵sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，…①
∴平方得（sinα+cosα）2=$\frac{1}{9}$，即1+2sinαcosα=$\frac{1}{9}$
可得2sinαcosα=-$\frac{8}{9}$，
因此，（sinα-cosα）²=（sinα+cosα）²-4sinαcosα=$\frac{1}{9}+\frac{16}{9}$=$\frac{17}{9}$，
得sinα-cosα=$\frac{\sqrt{17}}{3}$（舍负），…②
①②联解，得sinα=$\frac{1+\sqrt{17}}{6}$，cosα=$\frac{1-\sqrt{17}}{6}$．
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1+\sqrt{17}}{1-\sqrt{17}}$=-$\frac{9+\sqrt{17}}{8}$．

点评 本题给出角α的正弦与余弦之和，求α的正切之值．着重考查了同角三角函数关系的知识，属于基础题．