Question

15．如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P、Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP=$\frac{π}{6}$，∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（1）若Q（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求cos（α+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）设函数f（α）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$，求f（α）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的定义和题意求出cosα，sinα的值，再由两角差的余弦公式展开后代入求值；
（2）根据向量的数量积坐标运算和条件代入f（α）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$，利用两角和正弦公式进行化简，根据α的范围和正弦函数的性质求出值域．

解答 解：（1）由已知可得cosα=$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$，
∴cos$（α+\frac{π}{4}）$=cosαcos$\frac{π}{4}$-sinαsin$\frac{π}{4}$=$-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$
（2）f（α）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=（cos$\frac{π}{6}$，sin$\frac{π}{6}$）•（cosα，sinα）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{1}{2}$sinα=$cos（α-\frac{π}{6}）$，
∵α∈[0，π），∴$α-\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，$cos（α-\frac{π}{6}）$∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴f（α）的值域是（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]

点评 本题是由关三角函数的综合题，考查了三角函数的定义，两角和差的正弦（余弦）公式，正弦函数的性质的应用，三角函数是高考的重点，必须掌握和理解公式以及三角函数的性质，并会应用．